1. Développement

Définition 1 : Développer un produit, c'est le transformer en somme.

Propriété 1 : Soient $a, b, c, d$ et $k$ des nombres réels :

• $k(a+b) = ka + kb$
• $k(a-b) = ka - kb$
• $(a+b)(c+d) = ac + ad + bc + bd$

2. Identités Remarquables

Définition 2 : Une identité remarquable est une égalité qui est vraie quelles que soient les valeurs données aux lettres qui figurent dans l'égalité.

Propriété 2 : Soient $a$ et $b$ deux nombres réels :

• $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$
• $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$
• $(a+b)(a-b) = a^2 - b^2$

3. Factorisation

Définition 3 : Factoriser une somme, c'est la transformer en produit.

a. Factoriser à l'aide d'un facteur commun :

Propriété 3 : $ka + kb = k(a+b)$ et $ka - kb = k(a-b)$.

b. Factoriser à l'aide d'une identité remarquable :

Propriété 4 : $a^2+2ab+b^2=(a+b)^2$ | $a^2-2ab+b^2=(a-b)^2$ | $a^2-b^2=(a+b)(a-b)$.

1. Racine carrée d'un nombre réel positif

Définition 1 : La racine carrée d'un nombre positif $a$ est le nombre positif dont le carré est égal à $a$. On le note $\sqrt{a}$. Le symbole $\sqrt{}$ est appelé radical.

Pour tout nombre positif $a$ : $(\sqrt{a})^2 = a$ et $\sqrt{a^2} = a$.

Remarques : Si $a$ est strictement négatif, $a$ n'a pas de racine carrée. La valeur de $\sqrt{a}$ est toujours positive ou nulle, et l'opposé de $\sqrt{a}$ est $-\sqrt{a}$. De plus, $\sqrt{1}=1$ et $\sqrt{0}=0$.

Propriété 1 (Le carré d'une racine carrée) :

• Si $a$ est supérieur ou égal à $0$, alors $\sqrt{a^2} = (\sqrt{a})^2 = a$.

• Si $a$ est inférieur ou égal à $0$, alors $\sqrt{a^2} = \sqrt{(-a)^2} = -a$.

2. Opérations sur les racines carrées

1. Produit : Pour deux nombres positifs $a$ et $b$ : $\sqrt{a \times b} = \sqrt{a} \times \sqrt{b}$ et $\sqrt{a^2 \times b} = a\sqrt{b}$.

2. Quotient : Pour un nombre positif $a$ et un nombre strictement positif $b$ : $\sqrt{\dfrac{a}{b}} = \dfrac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}$ et $\sqrt{\dfrac{1}{b}} = \dfrac{1}{\sqrt{b}}$.

⚠️ Remarque : Pour des nombres strictly positifs, la racine carrée d'une somme n'est pas égale à la somme des racines carrées.

Exemple : $\sqrt{4+9} = \sqrt{13}$ alors que $\sqrt{4}+\sqrt{9} = 2+3=5$. De même, $\sqrt{49-25}=\sqrt{24}=2\sqrt{6}$ alors que $\sqrt{49}-\sqrt{25}=7-5=2$.

3. Expression conjuguée & Équation $x^2 = a$

Propriété 4 : $\sqrt{a}+\sqrt{b}$ est l'expression conjuguée de $\sqrt{a}-\sqrt{b}$ (et inversement).

Propriété 5 (Résolution de l'équation $x^2 = a$) :

• Si $a$ est strictement positif, l'équation $x^2=a$ possède deux solutions : $\sqrt{a}$ et $-\sqrt{a}$.

• Si $a = 0$, l'équation possède une seule solution : $0$.

• Si $a$ est strictement négatif, l'équation ne possède aucune solution réelle.

1. Puissance d'un réel

Définition 1 : Soit $a$ un nombre réel non nul et $n$ un entier naturel non nul : $a^n = a \times a \times \dots \times a$ ($n$ facteurs) et $a^{-n} = \dfrac{1}{a^n}$.

En particulier : $a^1 = a$, $a^{-1} = \dfrac{1}{a}$, et par convention $a^0 = 1$. Dans $a^n$, $a$ est la base et $n$ est l'exposant.

2. Opérations sur les puissances

Propriété 1 : Soient $a$ et $b$ deux nombres réels non nuls, et $n, m$ deux entiers relatifs :

• $a^n \times a^m = a^{n+m}$
• $(a^n)^m = a^{n \times m}$
• $\dfrac{a^n}{a^m} = a^{n-m}$
• $a^n \times b^n = (ab)^n$
• $\left(\dfrac{a}{b}\right)^n = \dfrac{a^n}{b^n}$

3. Puissances de 10 & Écriture scientifique

• $10^n = 100\dots0$ ($n$ zéros) et $10^{-n} = 0,0\dots01$ ($n$ zéros).

Définition 2 (Écriture scientifique) : L'écriture scientifique d'un nombre décimal positif est la forme $a \times 10^n$ avec $1 \le a < 10$ et $n$ un entier relatif.

1. Théorème Direct de Pythagore

Théorème 1 : Si un triangle est rectangle, alors le carré de l'hypoténuse est égal à la somme des carrés des deux autres côtés.

Si $ABC$ est un triangle rectangle en $A$, alors : $BC^2 = AB^2 + AC^2$.

Remarques : On a aussi $AB^2 = BC^2 - AC^2$ et $AC^2 = BC^2 - AB^2$.

2. Réciproque du Théorème de Pythagore

Théorème 2 (Réciproque) : Dans un triangle, si le carré du plus grand côté est égal à la somme des carrés des deux autres côtés, alors ce triangle est rectangle.

1. Théorème Direct de Thalès

Théorème 1 : Soient $(d_1)$ et $(d_2)$ deux droites sécantes en $A$. Soient $B, M$ deux points de $(d_1)$ et $C, N$ deux points de $(d_2)$. Si la droite $(BC)$ est parallèle à $(MN)$, alors : $\dfrac{AM}{AB} = \dfrac{AN}{AC} = \dfrac{MN}{BC}$.

Remarque : Les points $A,B,M$ et $A,C,N$ doivent être alignés dans le même ordre. Ce théorème permet de calculer des longueurs inconnues.

2. Réciproque du Théorème de Thalès

Théorème 2 : Si les points $A,M,B$ d'une part, et $A,N,C$ d'autre part, sont alignés dans le même ordre, et si l'égalité des rapports $\dfrac{AM}{AB} = \dfrac{AN}{AC}$ est vérifiée, alors les droites $(MN)$ et $(BC)$ sont parallèles.

1. Comparaison de deux nombres réels

Définition : Pour comparer deux nombres réels $a$ et $b$, on étudie le signe de leur différence $a - b$. Si la différence $a-b$ est négative ou nulle, alors $a$ est inférieur ou égal à $b$.

2. Ordre, Addition & Multiplication

• Addition : Si $a \le b$, alors $a+c \le b+c$. (Exemple : si $x < 8$, alors $x+2 < 10$).

• Multiplication : Si $a \le b$ :

• si $k$ est un nombre strictement positif, alors $ka \le kb$.
• si $k$ est un nombre strictement négatif, alors $ka \ge kb$ (le sens de l'inégalité s'inverse !).

• Si $a \le b$, on déduit que $-b \le -a$.

3. Ordre, Inverse & Carré

• Inverse : Pour deux nombres strictement positifs $a$ et $b$, si $a \le b$, alors $\dfrac{1}{b} \le \dfrac{1}{a}$. (Exemple : si $1 < x < 4$, alors $\dfrac{1}{4} < \dfrac{1}{x} < 1$).

• Carré & Racine : Pour deux nombres positifs $a$ et $b$, l'inégalité $a \le b$ est équivalente à $a^2 \le b^2$ et à $\sqrt{a} \le \sqrt{b}$.

4. Applications de l'encadrement

Cas 1 : Deux nombres positifs ($2 < a < 3$ et $4 < b < 5$) :

• Addition : $6 < a+b < 8$ | Soustraction : $-3 < a-b < -1$ | Produit : $8 < ab < 15$ | Quotient : $\dfrac{2}{5} < \dfrac{a}{b} < \dfrac{3}{4}$

• Carrés : $4 < a^2 < 9$ et $16 < b^2 < 25$ | Racines : $\sqrt{2} < \sqrt{a} < \sqrt{3}$

Cas 2 : Un nombre positif et un nombre négatif ($1 < x < 2$ et $-4 < y < -2$) :

• Addition : $-3 < x+y < 0$ | Soustraction : $3 < x-y < 6$ | Produit : $-8 < xy < -2$

• Carrés : $1 < x^2 < 4$ et $4 < y^2 < 16$ | Racine de $y^2$ : $\sqrt{y^2} = -y$, qui est compris entre $2$ et $4$

5. Racine carrée du carré d'un réel

Propriété 5 : Pour tout nombre réel $x$ : $\sqrt{x^2} = x$ si $x$ est positif, et $\sqrt{x^2} = -x$ si $x$ est négatif.

1. Rapports trigonométriques dans un triangle rectangle

Soit $ABC$ un triangle rectangle en $A$. Pour l'angle aigu $\widehat{ABC}$ :

• $\cos(\widehat{ABC}) = \dfrac{AB}{BC} = \dfrac{\text{Côté adjacent}}{\text{Hypoténuse}}$
• $\sin(\widehat{ABC}) = \dfrac{AC}{BC} = \dfrac{\text{Côté opposé}}{\text{Hypoténuse}}$
• $\tan(\widehat{ABC}) = \dfrac{AC}{AB} = \dfrac{\text{Côté opposé}}{\text{Côté adjacent}}$

Propriété 1 : Pour tout angle aigu $x$, le cosinus et le sinus sont des nombres strictly compris entre $0$ et $1$.

2. Relations entre cosinus, sinus et tangente

Propriété 2 : Pour tout angle aigu $x$ :

• $\cos^2 x + \sin^2 x = 1$      • $\tan x = \dfrac{\sin x}{\cos x}$

3. Angles complémentaires & Angles usuels

Propriété 3 : Si la somme de deux angles $\alpha$ et $\beta$ est égale à $90^\circ$, alors $\cos \alpha = \sin \beta$, $\sin \alpha = \cos \beta$ et $\tan \alpha = \dfrac{1}{\tan \beta}$.

Tableau des angles usuels :

1. Définitions & Généralités

• Angle inscrit : Un angle dont le sommet est situé sur le cercle et dont les côtés coupent le cercle en deux points.

• Angle au centre : Un angle dont le sommet est le centre du cercle.

• Cas particulier de la tangente : Si $(AC)$ est tangente au cercle $(c)$ en $A$, l'angle $\widehat{BAC}$ formé par la tangente est un angle inscrit qui intercepte l'arc $\widehat{AB}$.

2. Propriétés des Angles

1) Angle inscrit et au centre associés : La mesure de l'angle au centre est égale au double de celle de l'angle inscrit associé (qui intercepte le même arc).

• $\widehat{FOG} = 2 \times \widehat{FEG}$    ou    $\widehat{FEG} = \dfrac{1}{2} \widehat{FOG}$

Exemple : Si l'angle au centre mesure $58,5^\circ$, l'angle inscrit associé mesure $29,25^\circ$.

2) Angles inscrits interceptant le même arc : Deux angles inscrits qui interceptent le même arc ont exactement la même mesure.

• $\widehat{AMB} = \widehat{ANB}$

I. Triangles Isométriques

Définition : Deux triangles sont dits isométriques lorsque l'on peut faire coïncider l'un avec l'autre par un déplacement du plan (ce sont des triangles superposables).

Propriété 1 : Si deux triangles sont isométriques, leurs côtés correspondants ont la même longueur et leurs angles correspondants ont la même mesure.

Les 3 cas d'isométrie :

• Cas 1 (CCC) : Si deux triangles ont leurs côtés respectivement de même longueur.
• Cas 2 (CAC) : Si deux triangles ont un angle de même mesure compris entre deux côtés de même longueur.
• Cas 3 (ACA) : Si deux triangles ont un côté de même longueur adjacent à deux angles de même mesure.

II. Triangles Semblables

Définition : Deux triangles sont dits semblables lorsque leurs angles correspondants ont la même mesure.

Propriété 2 : Si deux triangles sont semblables, leurs côtés correspondants sont proportionnels : $\dfrac{AB}{EF} = \dfrac{BC}{FG} = \dfrac{AC}{EG} = k$ ($k$ est le rapport de similitude : si $k>1$ c'est un agrandissement, si $k<1$ c'est une réduction).

Les 3 cas de similitude :

• Cas 1 (AA) : Si deux triangles ont deux angles correspondants de même mesure.
• Cas 2 (CAC) : Si deux triangles ont un angle de même mesure compris entre deux côtés proportionnels.
• Cas 3 (CCC) : Si les longueurs des trois côtés d'un triangle sont proportionnelles aux trois côtés d'un autre triangle.

1. Équations du premier degré à une inconnue

Définition : Une équation du premier degré à une inconnue $x$ est une égalité de la forme $ax + b = 0$ où $a$ et $b$ sont des nombres réels donnés ($a \neq 0$).

• Si $a \neq 0$, l'équation $ax + b = 0$ possède une unique solution : $x = -\dfrac{b}{a}$.

2. Équations produit nul & Équation $x^2 = a$

Propriété 1 (Produit nul) : Un produit de deux facteurs est nul si et seulement si l'un au moins des facteurs est nul :

• $(ax + b)(cx + d) = 0 \iff ax + b = 0 \text{ ou } cx + d = 0$.

Propriété 2 (Équation $x^2 = a$) :

• Si $a > 0$, l'équation admet deux solutions : $\sqrt{a}$ et $-\sqrt{a}$.
• Si $a = 0$, l'équation admet une unique solution : $0$.
• Si $a < 0$, l'équation n'admet aucune solution réelle.

3. Inéquations du premier degré

Définition : Une inéquation est une inégalité contenant une inconnue $x$. Règle fondamentale : lorsqu'on multiplie ou divise les deux membres d'une inéquation par un nombre négatif, on inverse le sens de l'inégalité.

4. Étapes de résolution d'un problème

1. Choix de l'inconnue $x$.
2. Mise en équation (ou en inéquation) du problème.
3. Résolution de l'équation (ou inéquation).
4. Vérification des résultats.
5. Conclusion et réponse à la question posée.

1. Notion de Translation

Définition : Soient $A$ et $B$ deux points distincts du plan. L'image d'un point $M$ par la translation $t$ qui transforme $A$ en $B$ est le point $M'$ tel que $\vec{MM'} = \vec{AB}$, ce qui équivaut à dire que le quadrilatère $ABM'M$ est un parallélogramme.

Propriétés de conservation : La translation conserve les longueurs, l'alignement des points, les angles géométriques, le parallélisme, les perptendicularités et les aires.

2. Égalité Vectorielle & Vecteur Nul

• Un vecteur est défini par sa direction, son sens et sa norme (longueur).

• Égalité : $\vec{AB} = \vec{CD}$ si et seulement si $ABDC$ est un parallélogramme.

• Vecteur opposé : $-\vec{AB} = \vec{BA}$.

• Milieu d'un segment : $I$ est le milieu de $[AB]$ $\iff \vec{AI} = \vec{IB} \iff \vec{IA} + \vec{IB} = \vec{0}$.

3. Somme Vectorielle & Relation de Chasles

• Relation de Chasles : Pour tous points $A, B, C$ du plan : $\vec{AB} + \vec{BC} = \vec{AC}$.

• Règle du parallélogramme : Si $ABDC$ est un parallélogramme, alors $\vec{AB} + \vec{AC} = \vec{AD}$.

1. Repère Orthonormé & Coordonnées

Un repère $(O, I, J)$ est orthonormé lorsque les axes $(OI)$ et $(OJ)$ sont perpendiculaires et $OI = OJ = 1$.

• Coordonnées d'un vecteur : Soient $A(x_A ; y_A)$ et $B(x_B ; y_B)$. Le vecteur $\vec{AB}$ a pour coordonnées :

• $\vec{AB}(x_B - x_A \;;\; y_B - y_A)$

• Somme de vecteurs : Si $\vec{u}(x ; y)$ et $\vec{v}(x' ; y')$, alors $(\vec{u}+\vec{v})(x+x' \;;\; y+y')$ et $k\vec{u}(kx \;;\; ky)$.

2. Coordonnées du milieu d'un segment

Soient $A(x_A ; y_A)$ et $B(x_B ; y_B)$. Le milieu $M$ du segment $[AB]$ a pour coordonnées :

• $M\left( \dfrac{x_A + x_B}{2} \;;\; \dfrac{y_A + y_B}{2} \right)$

3. Distance entre deux points dans un repère orthonormé

Dans un repère orthonormé, la distance $AB$ est donnée par la formule :

• $AB = \sqrt{(x_B - x_A)^2 + (y_B - y_A)^2}$

1. Fonction Linéaire

Définition : Soit $a$ un nombre réel donné. Une fonction linéaire $f$ est une relation qui, à tout réel $x$, associe le réel $ax$. On note $f(x) = ax$ ($a$ est le coefficient de la fonction).

• Calcul du coefficient $a$ : Pour tout $x \neq 0$, $a = \dfrac{f(x)}{x}$.

• Représentation graphique : C'est une droite qui passe toujours par l'origine du repère $O(0;0)$.

2. Fonction Affine

Définition : Soient $a$ et $b$ deux réels donnés. Une fonction affine $g$ est définie par $g(x) = ax + b$. ($a$ est le coefficient et $b$ est l'ordonnée à l'origine).

• Calcul du coefficient $a$ : Pour deux nombres distincts $x_1$ et $x_2$ :

• $a = \dfrac{g(x_1) - g(x_2)}{x_1 - x_2}$

• Représentation graphique : C'est une droite $(D)$ ne passant pas par l'origine si $b \neq 0$, coupant l'axe des ordonnées au point $(0 ; b)$.

1. Équation Réduite d'une Droite

Propriété : Toute droite non parallèle à l'axe des ordonnées possède une équation réduite de la forme :

• $(D) : y = mx + p$

où $m$ est la pente (ou coefficient directeur) et $p$ est l'ordonnée à l'origine.

• Calcul de la pente $m$ : Si $A(x_A ; y_A)$ et $B(x_B ; y_B)$ sont deux points distincts de $(D)$ ($x_A \neq x_B$) :

• $m = \dfrac{y_B - y_A}{x_B - x_A}$

2. Parallélisme et Perpendicularité

Soient deux droites $(D) : y = mx + p$ et $(D') : y = m'x + p'$.

• Parallélisme : $(D) \parallel (D') \iff m = m'$ (mêmes pentes).

• Perpendicularité : $(D) \perp (D') \iff m \times m' = -1$ (produit des pentes égal à $-1$).

1. Définition

Un système de deux équations du premier degré à deux inconnues $x$ et $y$ est sous la forme :

• $\begin{cases} ax + by = c \\ a'x + b'y = c' \end{cases}$

Résoudre ce système, c'est trouver tous les couples $(x ; y)$ qui vérifient les deux équations simultanément.

2. Méthodes Algébriques

• Méthode de Substitution : On exprime l'une des inconnues en fonction de l'autre dans une équation, puis on la remplace dans la seconde équation.

• Méthode de Combinaison Linéaire : On multiplie les équations par des nombres adéquats afin d'obtenir des coefficients opposés pour une inconnue, puis on additionne membre à membre pour l'éliminer.

3. Résolution Graphique

Chaque équation représente une droite. La solution du système correspond aux coordonnées du point d'intersection des deux droites (si elles sont sécantes).

1. Effectifs & Fréquences Cumulés

• Effectif cumulé : L'effectif cumulé d'une valeur est la somme de son effectif et des effectifs des valeurs qui la précèdent.

• Fréquence : $f_i = \dfrac{n_i}{N}$ ($n_i$ effectif de la valeur, $N$ effectif total).

2. Moyenne Pondérée

La moyenne pondérée $m$ d'une série statistique est :

• $m = \dfrac{n_1 x_1 + n_2 x_2 + \dots + n_p x_p}{N}$

3. Médiane & Mode

• Mode : C'est la valeur du caractère qui a le plus grand effectif.

• Médiane : C'est la valeur du caractère qui divise la série ordonnée en deux groupes de même effectif. C'est la première valeur dont l'effectif cumulé est supérieur ou égal à la moitié de l'effectif total $\dfrac{N}{2}$.

1. Formules de Volumes des Solides Usuels

• Pyramide : $V = \dfrac{1}{3} \times \mathcal{B} \times h$ ($\mathcal{B}$ est l'aire de la base, $h$ la hauteur).

• Cône de révolution : $V = \dfrac{1}{3} \times \pi R^2 \times h$.

• Prisme droit & Cylindre : $V = \mathcal{B} \times h$.

• Pavé droit (Parallélépipède) : $V = L \times l \times h$  |  Cube : $V = a^3$.

2. Effets de l'Agrandissement et de la Réduction

Lors d'un agrandissement ou d'une réduction de rapport $k > 0$ :

• Les longueurs sont multipliées par $k$ : $L' = k \times L$.
• Les aires sont multipliées par $k^2$ : $\mathcal{A}' = k^2 \times \mathcal{A}$.
• Les volumes sont multipliés par $k^3$ : $V' = k^3 \times V$.